viernes, 13 de noviembre de 2015

NÚMEROS PRIMOS


NÚMEROS PRIMOS



Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.
    Ejemplos: a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.

                    b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)

    El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)
    Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.
    En la siguiente tabla tenemos todos los primos menores que 1000, que hacen un total de 168 (21×8)

23571113171923293137414347535961677173
79838997101103107109113127131137139149151157163167173179181
191193197199211223227229233239241251257263269271277281283293307
311313317331337347349353359367373379383389397401409419421431433
439443449457461463467479487491499503509521523541547557563569571
577587593599601607613617619631641643647653659661673677683691701
709719727733739743751757761769773787797809811821823827829839853
857859863877881883887907911919929937941947953967971977983991997

Cómo averiguar si un número es primo.
    El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es primo es el de la división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5, ... , n-1. Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, el número n es primo. Este método puede hacerse más eficiente observando simplemente, que si un número es compuesto alguno de sus factores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √ n. Por lo tanto, el número de divisiones a realizar es mucho menor. Sólo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... , [√ n]. En realidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos menores o iguales que √ n.
     Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15'0665... basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13.

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