LOS TRIANGULOS

LOS TRIÁNGULOS

Definición de triángulo:

     Un triángulo es un polígono de tres lados.

Propiedades de los triángulos:

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Clasificación de los triángulos:

1 Según sus lados:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales

Triángulo isósceles

Dos lados iguales

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales

UNIDAD EDUCATIVA” TOMAS OLEAS”

EVALUACION DEL BLOQUE 2 SEGUNDO PARCIAL.

NOMBRE DEL ALUMNO	SEXTO AÑO DE. EGB	FECHA
	ASIGNATURA
NOMBRE DEL PROFESOR		NOTA
	MATEMATICAS

INSTRUCCIONES GENERALES:

Durante la evaluación es prohibido comunicarse entre alumnos, la consulta en libros, cuadernos o cualquier otro documento estará sujeta a sanción

1.- Escriba el término que falta en las siguientes sucesiones:

2.-  Escriba todos los números que cumplan cada condición dada:

-Múltiplos de 3 mayores a 9 y menores que 29.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Divisores de 120. ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.-  Complete la siguiente tabla:

Número	Divisible para
	2	3	4	5	6	10
45
60
68

4.-  Encerrar en un círculo los números primos:

                  1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 –7 – 8 – 9 – 10 –

      11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19 - 20

             5.-  Descomponga en sus números primos:

       a)    48………………………………………………………………………………………

       b)  35…………………………………………………………………………………………

6.-  Encuentre el mcm y mcd de 20, 35 y 100:

	20	35	100
mcm
mcd

7.-  Resuelva las siguientes potencias:

5³=…………………………………..  15²………………………………………..

6⁴=…………………………………   9²…………………………………………….

8.-  Complete los números que faltan:

  

9.-  Trace un triángulo equilátero de 4 cm de lado y un triángulo escaleno cuyos lados midan 5  2 y 4 cm:

 

  

10.-  Dibuje los siguientes ángulos:

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El máximo común divisor (MCD) de dos o más número natural o enteros (no números con decimales) es el número más grande que les divide.

Para descubrir cuáles son los números que les divide existen dos formas: la forma larga y la forma corta. Esto lo explicaremos a través de un ejemplo. Ejemplo:

Forma larga

Máximo común divisor (MCD) de 10 y 20:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Importante: los divisores se sacan dividiendo, es decir, todo número que dividido por el número que estamos analizando de 0 en el resto. Por ejemplo:

10    5

0    2

10    6

4    1 

- 6 No sería divisor de 10 porque el resto da 4 y tiene que ser 0.

Una vez sabido que los divisores de 10 y de 20 son:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Vamos a ver cuáles son los números que coinciden que son:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Divisores de 10 y 20 son: 1, 2, 5 y 10.

El máximo común divisor sería el 10 porque es el número más grande que, a su vez, es divisor de ambos número (10 y 20).

Forma corta

Para número más grandes es más fácil hacer una descomposición en factores primos. Esta descomposición la empezamos siempre con el número más pequeño divisible del número que analizamos. Por ejemplo, para descubrir el máximo común divisor de 40 y 60. Escribimos el número que vamos a descomponer a la derecha (en este caso el 40) y seguidamente trazamos una recta vertical. Será detrás de esta donde colocaremos los factores primos empezando por el más pequeño. Haremos lo mismo con el 60.

En este paso hemos dividido 40:2=20. Ahora buscaremos el mínimo divisor de 20 que es 2 y hacemos lo mismo 20:2= 10. Y seguiremos haciendo lo mismo con todos los anteriores.

¡Truco! Si quieres saber si has hecho bien la descomposición de ffactores primos se puede comprobar multiplicando. Empezando por abajo, multiplicas el último número de la izquierda (multiplicando) con el último de la derecha (multiplicador), el resultado debe ser el número de arriba del multiplicando.

Ejemplo:

El último número es el 5 (multiplicando) el multiplicador será el 1 y el resultado es el 5. Lo mismo pasa si 5 (multiplicando) lo multiplicas por 2 (multiplicador) es igual a 10.

Una vez descompuesto el número 40 sabemos que 40 es divisor de:

	MCD de 40 = 2x2x2x5

El mismo proceso seguiremos con el número 60:

Una vez fragmentados ambo

MCD de 60 = 2x2x5x5

Una vez fragmentados ambos números vemos que:

Los divisores de 40 son: 2x2x2x5

Los divisores de 60 son: 2x2x3x5

Observamos cuales son los números que se repiten (los que estan en negrita) y los multiplicamos:

2x2x5= 20

El máximo común divisor de 40 y 60 es 20

DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES PRIMOS

DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES PRIMOS

Imagina que tienes el número 12 y queremos descomponer en factores primos: un factor puede ser 6 otro, 2 y ya tenemos que 12 = 2 x 6

Pero 6 no es un número primo porque 6 = 2 x 3

Cuando vamos a descomponer un número en factores primos, comenzamos siempre por los factores más pequeños.
Escribimos el número a descomponer y a su derecha trazamos una recta vertical y detrás de ésta, vamos colocando los factores primos comenzando por el menor.
Ahora tienes que recordar muy bien cuándo un número es divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13,…………….

Siempre que descompongas un número en sus factores primos el último valor que aparecerá será el 1.

La respuesta se presenta:

Como ves, se escribe el número y a su derecha en forma de producto (por eso estamos hablando de factores) los números primos con sus exponentes o número de veces que se repite cada factor.

3.36 Observa como hemos descompuesto los números: 90, 1050, 8400 y 126348:

A veces te pueden salir números primos muy grandes y es trabajoso comprobar que lo son.

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD

 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD 

Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:

DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.

DIVISIBILIDAD POR 3: Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras absolutas es múltiplo de tres.

DIVISIBILIDAD POR 4: fijate en las dos últimas cifras. Tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4.

DIVISIBILIDAD POR 5: Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco.

DIVISIBILIDAD POR 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3.

DIVISIBILIDAD POR 9: Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

DIVISIBILIDAD POR 10: tiene que terminar en cero. De manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.

DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición impar son múltiplo de once.

Cálculo del mínimo común múltiplo

CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios números, excluido el cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplos:

Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60:

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

Solución: 

m.c.m. (72, 108, 60) = 2³ · 3³ · 5= 1080

1 080 es el menor múltiplo común a 72, 108 y 60.

1 080 es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60.

Propiedades del mínimo común múltiplo

1 Dados varios números todo múltiplo común a ellos es múltiplo del m.c.m de dichos números.

2 Los múltiplos comunes a varios números son también múltiplos del m.c.m de dichos números.

Ejemplo:

m.c.m. (16, 8) = 80

Algunos de los múltiplos comunes de 16 y 8 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 80

3 Cualquier múltiplo del m.c.m. de varios números también lo es de dichos números.

Ejemplo:

m.c.m. (16, 8) = 80

Algunos de los múltiplos de 80 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 16 y de 8

4El m.c.m. de dos números primos entre sí es su producto.

Ejemplo:

m.c.m (2,5) = 2 · 5 = 10

5Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

Ejemplo:

El número 36 es múltiplo de 12.

m. c. m. (12, 36) = 36

6Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.m también queda dividido o multiplicado por el mismo número.

Ejemplo:

m.c.m. (32, 84) = 672

32 · 4 = 128

84 · 4 = 336

m.c.m (128, 336) = 2688 = 672 · 4

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b

Ejemplo:

m. c. d. (12, 16) = 4

m. c. m. (12, 16) = 48

48 · 4 = 12 ·16

192 = 192