EL ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA

Cómo sacar el área de un círculo.

 

El área de un círculo es el número de unidades cuadradas dentro del círculo. Para calcular el área de un círculo debes antes obtener o calcular el radio, es decir, la distancia desde el centro del círculo hacia el exterior. La fórmula que debes aplicar para calcular el área de un círculo es: A = Π x r² y en este artículo de unComo te explicamos paso a paso cómo sacar el área de un círculo.

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1. Para explicar de forma detallada cómo sacar el área de un círculo, tomaremos un ejemplo para que pueda verse de forma más clara y resulte más sencillo. Así pues, supongamos que el enunciado del ejercicio nos pide:

   Encuentra el área de un círculo cuyo diámetro es de 38 centímetros.
   
2. De este modo, tendremos que calcular el radio de un círculo sabiendo su diámetro —la distancia de un extremo a otro del círculo— y para ello debes saber que el radio es igual al diámetro dividido por 2, es decir, el radio mide la mitad que el diámetro.

   Matemáticamente, la fórmula sería:

   r = D / 2

   r = 38 / 2 = 19 cm
3. También deberás saber que la fórmula para obtener el área del círculo es igual a Pi por Radio al cuadrado:

   A = Πr²

   Así pues, ahora que conoces ya el valor del radio, ¿sabes cuánto vale el número pi? Efectivamente, aunque se trate de un número irracional inconmensurable, podemos aproximar su valor a 3,14 y aplicar así la fórmula matemática siguiendo nuestro ejemplo:

   A = Π x 19² = Π x 361 = 3,14 x 361 = 1133,54 cm²
   
4. Como puedes ver, la fórmula para sacar el área de un círculo es sencilla, fácil de recordar, y solamente necesitas el dato del radio del círculo. Típicamente, en los problemas matemáticos donde debes encontrar el área de un círculo evitarán darte la medida del radio, por eso es necesario aprender también como encontrarlo.
5. Si deseas leer más artículos parecidos a cómo sacar el área de un círculo, te recomendamos que entres en nuestra categoría de Educación Matemática.

ÁREA Y PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA

Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuando mide el radio de la circunferencia.

La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.

Llamemos r al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será:

A=π⋅r2

Veamos un ejemplo de como podemos calcular el área de una circunferencia.

Ejemplo

En la circunferencia de la imagen expuesta arriba se ve claramente que el área encerrada por la circunferencia es la que está en color blanco. En este caso la variable r toma el valor r=10cm. El área se calcularía de la siguiente forma:

A=π⋅r2=π⋅102=314,16 cm2

Nota 1: vemos que las unidades del parámetro r son cm. Podría ser cualquier unidad de medida, como por ejemplo cm, m, mm... u otras unidades como pulgadas, por ejemplo.

Nota 2: las unidades en que sale el área son unidades de longitud al cuadrado al haber multiplicado una distancia por si misma.

Perímetro

Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida.

De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r.

La expresión es la siguiente:

P=2⋅π⋅r

Veámoslo más claro con un ejemplo:

Ejemplo

Tomemos la circunferencia del ejemplo anterior, que volvemos a representar a continuación:

De nuevo el parámetro r es r=10 cm.

Aplicando la fórmula explicada anteriormente se obtiene:

P=2⋅π⋅r=2⋅π⋅10=62,83 cm

Por tanto, el resultado es que el perímetro vale 62,83 cm.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Qué es una circunferencia?

De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia.

No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie).

A continuación vemos una imagen de una circunferencia.

En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro, y del que hablaremos más adelante con detalle en la parte de elementos básicos de la circunferencia.

Elementos básicos

En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación:

• Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.
• Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.
• Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.
• Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.
• Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
• Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA

Definición y elementos básicos de la circunferencia 

¿Qué es una circunferencia?

De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia.

No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie).

A continuación vemos una imagen de una circunferencia.

En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro, y del que hablaremos más adelante con detalle en la parte de elementos básicos de la circunferencia.

Elementos básicos

En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación:

• Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.
• Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.
• Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.
• Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.
• Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
• Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

PARES ORDENADOS

PARES ORDENADOS

1.1 Pares Ordenados y plano cartesiano

♥ 1.1 Pares Ordenados

(LAS CIUDADES MAS GRANDES DEL MUNDO) → es un PowerPoint informativo sobre las ciudades más pobladas del mundo y algunas condiciones de vida de estas.

♠ Par Ordenado

Es una pareja de elementos dados en cierto orden; estos elementos pueden ser numéricos o de otra clase.  Los encontramos en la vida diaria de diferentes maneras, por ejemplo:  el marcador de partidos deportivos entre dos equipos, los pares entre: pais-capital; provincia-capital; esposo-esposa; nombres-apellidos, nombre-edad, etc.

• Nosotros estudiaremos los pares ordenados numéricos; con  naturales, fracionarios y decimales.

♠ Concepto.-

(x, y) es un par ordenado cualquiera, x ≠ y, en donde x es el primer elemento llamado primera componentey y es el segundo elemento llamado segunda componente.

IMPORTANTE:  (x, y) ≠ (y, x).  Es decir el orden de las componentes no puede ser cambiado.

Estas componentes numéricas, se pueden graficar en los ejes cartesianos o plano cartesiano; la primera componente representa la abscisa y se ubica en el eje x; la segunda componente representa la ordenada y se ubica en el eje y. (x, y).

                                   

♠ Plano Cartesiano

LLamado también Sistema Cartesiano de Coordenadas, está formado por dos rectas numéricas cortadasperpendicularmente; el punto de corte de estas rectas es el origen o cero y a partir de allí se ubican los números ordenadamente en las 4 direcciones (arriba, abajo, derecha e izquierda).  A la recta horizontal se le llama eje x o de las abscisas; y la recta vertical se llama eje y o de las ordenadas.

En el eje x a la derecha están los números positivos.

En el eje x a la izquierda están los números negativos.

En el eje y arriba están los números positivos.

En el eje y abajo están los números negativos.

   

  Ejemplos de nuestro gráfico:

R (-4, 4)

S (-1, 2)

U (-3, 0)

T (-2, -1)

V (3, 1)

Para ubicar pares ordenados en el plano cartesiano, se le debe ubicar a la 1° componente en el eje x(horizontal), y la 2° componente en el eje y (vertical); dirigir segmentos paralelos (cuadricula) a los ejes hasta que se corten y allí se ubicará el punto que corresponde al par ordenado.

Las coordenadas o ejes cartesianos por ser dos rectas que se cortan en un punto forman cuatro cuadrantesque se cuentan o enumeran en forma antihoraria, comenzando por el de la derecha y superior, así:

PLANO CARTESIANO

PLANO CARTESIANO

Ejes cartesianos y representación de puntos en el plano

Unos ejes cartesianos son un par de rectas reales perpendiculares que nos permiten identificar los distintos puntos del plano.

Identificaremos un punto P cualquiera mediante un par de números a y b, y escribiremos P=(a,b). Antes de ver cómo encontrar dichos a y b, analicemos un poco más a fondo los ejes cartesianos.

Esta es una representación gráfica de unos ejes cartesianos:

Observamos que tenemos dos rectas reales que se cruzan en el punto 0 de ambas.

Es destacable que dichas rectas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, y distinguidas según muestra la figura:

Los distintos ejes tienen nombres propios:

• El eje horizontal es el eje de abscisas.
• El eje vertical es el eje de ordenadas.

El punto donde se cortan los dos ejes se llama origen (a veces sencillamente O), y tiene por coordenadas O=(0,0).

Una vez vista la notación habitual, ya estamos en condiciones de localizar puntos.

Una definición rigurosa de qué se considera coordenadas de un punto podría ser:

Dados uno ejes cartesianos y un punto P del plano, si a y b son el valor de la proyección del punto P sobre los ejes de abscisas y ordenadas respectivamente, entonces se tiene P=(a,b).

Una definición más constructiva podría ser la siguiente:

Las coordenadas a y b de un punto P del plano, P=(a,b), son los puntos de intersección de las paralelas a los ejes de coordenadas trazadas desde el punto P con los ejes de coordenadas. La primera coordenada a es la intersección con el eje horizontal o de abscisas, y la segunda coordenada b es la intersección con el eje vertical o de ordenadas.

Un ejemplo visual resultará mucho más clarificador.

Ejemplo

De entrada, por situación inicial tenemos el punto y los ejes de coordenadas:

Si trazamos paralelas des del punto P, tenemos:

Y por tanto ya podemos decir que P=(2,−3).

El proceso de representar puntos es exactamente el mismo pero a la inversa.

Supongamos que queremos representar el punto P=(−1,2) en unos ejes cartesianos, el procedimiento a seguir es el siguiente:

Marcamos en el eje de abscisas el punto −1 y en el eje de ordenadas el punto 2:

Trazamos paralelas a los ejes de ordenadas y abscisas por los puntos a y b respectivamente:

La intersección de dichas paralelas es el punto P=(−1