MEDIDAS DE MASA

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES POR DESCOMPOSICIÓN EN TRIÁNGULOS.

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES POR DESCOMPOSICIÓN EN TRIÁNGULOS.

Un polígono regular es aquel cuyos ángulos  son iguales, y cuyos lados l tienen la misma longitud. El segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera de sus lados es la apotema (a).

Uniendo el centro con cada uno de los vértices todo polígono regular de n lados se descompone en n triángulos iguales, los cuales serán isósceles, a excepción del hexágono regular en que serán equiláteros. La apotema es la altura de cada uno de dichos triángulos.

En un polígono regular de n vérices (y por lo tanto de n lados), los ángulos miden todos  radianes, es decir grados (sexagesimales), lo que se obtiene muy fácilmente de la descomposición del polígono en triángulos: los ángulos de los n triángulos suman 180º n. Como los ángulos que convergen en el centro son en total 360º, resulta claro que los n ángulos  del polígono sumarán180ºn – 360º = 180º (n-2). Y, siendo dichos ángulos iguales, sólo habrá que dividir entre n para tener su valor. Desarrollándolo algebraicamente:

y finalmente,

o bien,

indistintamente.

Así, por ejemplo, para el triángulo (n = 3) -se trata de un triángulo equilátero-, los ángulos miden 1 x 180º/3 = 60º.

En el caso del cuadrilátero (n = 4) -un cuadrado-, los ángulos valen 2×180°/4 = 90°.

En cuanto a la superficie del polígono regular, es obvio que será n veces la de cada uno de los triángulos en que se ha descompuesto:

pero siendo la base el lado l del polígono, y la altura su apotema a,

y finalmente, como , nos queda

Altura y apotema de un polígono regular, de número de lados > 4, cuyos ángulos sean iguales (y por tanto, su número sea par):

, valor del lado del polígono.

, altura.

, apotema.

, resultado de la división de polígono, suma de ángulos de una de las figuras restantes y resta de 4 de Abel.

Para calcular , se traza una línea que va desde el punto mitad de un lado hasta el punto mitad opuesto (o del lado opuesto), se cuentan los ángulos interiores de uno de los dos polígonos y se le resta 4.

En el caso de un hexágono (6 lados), se traza dicha línea que divide el polígono en 2 figuras. Dichas figuras, tienen cada una 5 ángulos convexos. Entonces, 5 - 4 = 1. Luego A = 1. En el caso de un octógono (8 lados), se traza dicha línea y se obtienen 2 figuras de 6 ángulos interiores cada una. 6 - 4 = A.

MEDIDAS DE PESO Y KILOGRAMOS

La libra (lb) es una unidad de masa usada desde la Antigua Roma. La palabra (derivada del latín) significa "escala o balanza",^{[cita requerida]} y todavía es el nombre de la principal unidad de masa usada ahora sólo en los Estados Unidos y, de manera informal, en algunos países de Latino américa, en Latinoamérica la libra es ampliamente usada en Centroamérica.

Existen muchas unidades llamadas libra, especialmente en la antigüedad, aunque la libra que se utiliza ahora es la libra avoirdupois, por lo que si se menciona la palabra "libra" refiriéndose a la masa, se entiende que se está hablando de la libra avoirdupois.¹

Una libra equivale a 0,45362 kilogramos y a su vez un kilogramo es igual a 2,204 622 62 libras.²

Historia[editar]

Mucho después de la caída del Imperio Romano Occidental, las diversas regiones del antiguo imperio fueron tomando su propia manera de estimar el valor de una libra, y surgieron numerosas unidades de masa también llamadas libra. La libra latina equivalía a 273 gramos. Aunque como unidad monetaria de cuenta se usaba la libra griega, de 327,4 gramos.

Durante mucho tiempo hubo confusiones al pesar una mercancía en diferentes unidades denominadas libra. Para acabar con el problema, Antoine Lavoisier propuso sustituir las libras y otras antiguas unidades en toda Europa, por el gramo, sus múltiplos y submúltiplos.

Con el paso del tiempo, todas las naciones europeas abandonaron el uso de la libra para sustituirla por el kilogramo, pero los Estados Unidos todavía la usa, así como algunos países latinoamericanos cuyas culturas fueron en gran medida influidas por la norteamericana durante el siglo XX, como El Salvador, Guatemala, Puerto Rico, Cuba y Panamá.

Libras de uso[editar]

Los estadounidenses todavía usan dos tipos de libras, aunque ya empiezan a aceptar el kilogramo:

• Libra avoirdupois (pound avoirdupois, en inglés): es la libra de uso común. Se abrevia lb en castellano, y cotidianamente sólo se le llama pound. Equivale a 453,59237gramos y también a:
  • 7.000 granos
  • 256 dracmas avoirdupois
  • 16 onzas avoirdupois
  • 0,071428571428571 stones
  • 0,04 arrobas

• Libra troy (pound troy, en inglés): este tipo de libra se usa únicamente en joyería y orfebrería. Equivale a 373,2417216 gramos y también a:
  • 5.760 granos
  • 240 pennyweights
  • 96 dracmas troy
  • 12 onzas troy

En Colombia y Venezuela, se utiliza la palabra libra para referirse a 500 gramos.²

Libras obsoletas[editar]

• La libra farmacéutica anglosajona (pound apothecary, en inglés), era usada en las farmacias y farmacología. Una libra de éstas equivale a 373,2417216 gramos, y también a:
  • 5.760 granos
  • 288 escrúpulos
  • 96 dracmas farmacéuticas
  • 12 onzas farmacéutica

• La libra castellana fue utilizada amplia mente en España y en sus territorios americanos. Esta libra equivalía a 16 onzas castellanas (460,0093 gramos).
• La libra farmacéutica castellana fue utilizada en la farmacología española, diferenciándose de la libra anglosajona. Esta libra equivalía a 12 onzas medicinales (345,06975 gramos).
• La libra catalana (lliura) equivalía a 400 gramos. Esta libra también se dividía en 12 onzas.
• Otras libras españolas tenían valores diferentes, como 350 gramos la de Zaragoza, o 492 gramos (o 17 onzas) la de Guipúzcoa.
• La libra napolitana, utilizada en el reino de Nápoles, equivalía a 320,759 gramos.³

Forma de lectura de las libras como unidad de medida de masa[editar]

Lo más normal es que una libra se divida en 16 onzas. La lectura se realiza contando las libras totales y lo menor a la libra dividido en 16 unidades. Ejemplo: 1 libra con 12 onzas.

La libra como patrón monetario[editar]

La primera emisión de moneda en Roma, efectuada en el siglo IV a. C., fue el As Libral, cuyo peso estaba basado en el de la libra griega, y era de 327,4 gramos. El resto demonedas emitidas a lo largo de su historia, tales como los denarios y sestercios, estaban basadas en divisores de este patrón monetario.

En el año 800 Carlomagno adoptó la libra de 489,6 gramos divisible en 2 marcos. Se utilizó como patrón para la talla de las monedas, estableciéndose que cada libra equivalía a 20 sueldos o a 240 dineros.

Solamente existía el dinero como moneda real. Los sueldos, marcos y libras eran unidades de cuenta.

1 libra = 20 sueldos = 240 dineros (cuyo nombre viene de denario).

COORDENADAS EN EL PLANO CARTESIANO

COORDENADAS EN EL PLANO CARTESIANO

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas se pueden usar para decir dónde estás exactamente en un mapa o gráfico

Coordenadas cartesianas

Con las coordenadas cartesianas señalas un punto en un gráfico dando la distancia de lado y hacia arriba:

El punto (12,5) está 12 unidades a la derecha y 5 arriba.

Ejes X e Y

La dirección izquierda-derecha (horizontal) se suele llamar X ... ... y arriba-abajo (vertical) se suele llamar Y. Las líneas de referencia (desde donde se miden distancias) se llaman ejes. Hay un eje X y un eje Y.
	El eje X pasa por cero horizontalmente El eje Y pasa por cero verticalmente

Direcciones

	Cuando x (la primera coordenada) aumenta, el punto se mueve a la derecha. (Si disminuye, el punto va a la izquierda.)
	Cuando y (la segunda coordenada) aumenta, el punto se mueve arriba. (Si disminuye, el punto va abajo.)

Escribir coordenadas

Las coordenadas siempre se escriben en el mismo orden: la dirección horizontal primero, después la vertical. Esto se llama un "par ordenado".

Y normalmente los números se separan con una coma, y se rodean con paréntesis así: (3,2)

Ejemplo: (4,9) significa 4 unidades a la derecha y 9 arriba

Ejemplo: (0,5) significa 0 unidades a la derecha y 5 arriba. En otras palabras, sólo 5 unidades arriba.

Se llaman cartesianas porque las ideó el matemático y filósofo René Descartes a quien también se llamaba Cartesio. Es famoso por la frase "Pienso, luego existo".

Cuadrantes

¿Qué pasa cuando x o y es negativo? ¡Pues que empezamos en cero y vamos en la dirección contraria!

Esto significa que es posible tener combinaciones como x positivo e y negativo, o los dos negativos. De hecho hay cuatro combinaciones, y en un gráfico se llaman cuadrantes:

X (horizontal)	Y (vertical)	Ejemplo	Cuadrante
Positivo	Positivo	(3,2)	I
Negativo	Positivo	(-4,3)	II
Negativo	Negativo	(-2,-1)	III
Positivo	Negativo	(2,-3)	IV

La palabra cuadrante viene de cuad que significa cuatro. Por ejemplo, cuatro bebés que nacen a la vez se llaman cuatrillizos, y un animal de cuatro patas se llama cuadrúpedo)

Aquí tienes los cuatro cuadrantes en un gráfico:

Ejemplo: el punto "A" (3,2) está 3 unidades a la derecha y 2 arriba. Como x e y son positivos, el punto está en el "cuadrante I"

Ejemplo: el punto "C" (-2,-1) está 2 unidades horizontalmente en dirección negativa,
y 1 abajo (también dirección negativa). Como x e y son los dos negativos, el punto está en el "cuadrante III"

El origen

El punto (0,0) tiene el nombre especial de "el origen", y a veces se le llama con la letra "O".

Dimensiones: 1, 2, 3 y más...

Piensa en esto:

1	En la línea de números sólo se puede ir a izquierda o derecha, así que cualquier posición se indica con un número
2	Las coordenadas cartesianas indican direcciones izquierda-derecha y arriba-abajo, así cualquier posición se indica con dos números
3	¿Cómo señalamos un punto en el mundo real (como la punta de tu nariz)? Necesitamos indicar izquierda-derecha, arriba-abajo y delante-detrás, eso son tres números, ¡o 3 dimensiones!

Y se pueden usar coordenadas cartesianas para localizar puntos en 3 dimensiones como en este ejemplo:

Aquí el punto (-4,-4,5) se indica en coordenadas cartesianas tridimen

LA UNIDAD DE PESO

El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, es el sistema de unidades que se usa en todos los países del mundo, a excepción de tres que no lo han declarado prioritario o único.

Es el heredero del antiguo Sistema Métrico Decimal y por ello también se conoce como «sistema métrico».

Se instauró en 1960, en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas, durante la cual inicialmente se reconocieron seis unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la séptima unidad básica: el mol.

Una de las características trascendentales, que constituye la gran ventaja del Sistema Internacional, es que sus unidades se basan en fenómenos físicos fundamentales. Excepción única es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, definida como «la masa del prototipo internacional del kilogramo», un cilindro de platinoe iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas.^{nota 1}

Las unidades del SI constituyen referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medición, a las cuales están referidas mediante una concatenación ininterrumpida de calibraciones o comparaciones.

Esto permite lograr equivalencia de las medidas realizadas con instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares distantes y, por ende, asegurar —sin necesidad de duplicación de ensayos y mediciones— el cumplimiento de las características de los productos que son objeto de transacciones en el comercio internacional, su intercambiabilidad.

Entre los años 2006 y 2009 el SI se unificó con las normas ISO para instaurar el Sistema Internacional de Magnitudes (ISO/IEC 80000, con las siglas ISQ).

Masa (M)

kilogramo (kg)nota 2

Masa del prototipo internacional del kilogramo, adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas y depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, enSèvres, Francia. Este prototipo es un cilindro de 39 mm de altura y 39 mm de diámetro de una aleación90 % de platino y 10 % de iridio; tiene una densidad de 21 500 kg/m3.

Propuesta de redefinición a un valor relacionado con laconstante de Planck (h).

Elementos del polígono regular

Existen varios elementos del polígono regular que los caracterizan.

• Centro (C): es el punto del polígono regular que equidista a todos los vértices.
• Lado (L): es uno de los n segmentos que delimitan el perímetro del polígono.
• Vértice (V): punto de unión de dos lados. Existen tantos vértices como lados tiene el polígono (n).
• Radio (r): es el segmento que une el centro con un vértice
• Apotema (ap): segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Laapotema es perpendicular a dicho lado.

Clasificación de polígonos regulares

Los polígonos regulares se pueden clasificar según el número de lados que tienen:

• Triángulo equilátero: polígono con tres lados y ángulos iguales.
• Cuadrado: polígono con cuatro lados y ángulos iguales.
• Pentágono regular: polígono con cinco lados y ángulos iguales.
• Hexágono regular: polígono con seis lados y ángulos iguales.
• Heptágono regular: polígono con siete lados y ángulos iguales.
• Octógono regular: polígono con ocho lados y ángulos iguales.
• Eneágono regular: polígono con nueve lados y ángulos iguales.
• Decágono regular: polígono con diez lados y ángulos iguales.
• Undecágono regular: polígono con once lados y ángulos iguales.
• Dodecágono regular: polígono con doce lados y ángulos iguales.

Apotema de un polígono regular

La apotema de un polígono regular puede obtenerse sabiendo el número de lados (N) del polígono y lo que mide cada lado (L).

Sea el ángulo central α el ángulo que forman las dos líneas que unen el centro delpolígono (O) y dos vértices consecutivos. Éste se calcula como:


Mediante la tangente de la mitad del ángulo central y un lado (L), se calcula la apotema (ap) del polígono regular.



Área del polígono regular

El área de un polígono regular se calcula a partir de su perímetro y su apotema. Sea P el polígono regular con Nlados, su área es:


En un polígono regular, el perímetro se puede determinar por el producto del número de lados por la longitud de uno de los lados, es decir, Perímetro=N·L. O sea: