miércoles, 4 de mayo de 2016


ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES POR DESCOMPOSICIÓN EN TRIÁNGULOS.


Un polígono regular es aquel cuyos ángulos \alpha son iguales, y cuyos lados l tienen la misma longitud. El segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera de sus lados es la apotema (a).

Uniendo el centro con cada uno de los vértices todo polígono regular de n lados se descompone en n triángulos iguales, los cuales serán isósceles, a excepción del hexágono regular en que serán equiláteros. La apotema es la altura de cada uno de dichos triángulos.
En un polígono regular de n vérices (y por lo tanto de n lados), los ángulos miden todos (n-2) \cdot \frac {\pi}{n} radianes, es decir (n-2) \cdot \frac {180}{n}grados (sexagesimales), lo que se obtiene muy fácilmente de la descomposición del polígono en triángulos: los ángulos de los n triángulos suman 180º n. Como los ángulos que convergen en el centro son en total 360º, resulta claro que los n ángulos \alpha del polígono sumarán180ºn – 360º = 180º (n-2). Y, siendo dichos ángulos iguales, sólo habrá que dividir entre n para tener su valor. Desarrollándolo algebraicamente:
n \alpha+360^\circ=180^\circ n
n \alpha=180^\circ n-360^\circ=180^\circ \left(n-2 \right)
y finalmente,
\alpha=\left(n-2 \right)\frac{180^\circ}{n}
o bien,
\alpha=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}
indistintamente.
Así, por ejemplo, para el triángulo (n = 3) -se trata de un triángulo equilátero-, los ángulos miden 1 x 180º/3 = 60º.
En el caso del cuadrilátero (n = 4) -un cuadrado-, los ángulos valen 2×180°/4 = 90°.
En cuanto a la superficie del polígono regular, es obvio que será n veces la de cada uno de los triángulos en que se ha descompuesto:
S=n \cdot \frac{base \cdot altura}{2}
pero siendo la base el lado l del polígono, y la altura su apotema a,
S=n \cdot \frac{l \cdot a}{2}
y finalmente, como n \cdot l =\mbox {perímetro}, nos queda
S=\frac{1}{2}\, \left( \mbox {perímetro}\cdot {apotema} \right )
Altura y apotema de un polígono regular, de número de lados > 4, cuyos ángulos sean iguales (y por tanto, su número sea par):
h=\frac{l}{A} + A \cdot l
a=\frac{h}{2}
l, valor del lado del polígono.
h, altura.
a, apotema.
A, resultado de la división de polígono, suma de ángulos de una de las figuras restantes y resta de 4 de Abel.
Para calcular A, se traza una línea que va desde el punto mitad de un lado hasta el punto mitad opuesto (o del lado opuesto), se cuentan los ángulos interiores de uno de los dos polígonos y se le resta 4.
En el caso de un hexágono (6 lados), se traza dicha línea que divide el polígono en 2 figuras. Dichas figuras, tienen cada una 5 ángulos convexos. Entonces, 5 - 4 = 1. Luego A = 1. En el caso de un octógono (8 lados), se traza dicha línea y se obtienen 2 figuras de 6 ángulos interiores cada una. 6 - 4 = A.

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