SUMA Y RESTA CON FRACCIONES HOMOGÉNEAS.

SUMA Y RESTA CON FRACCIONES HOMOGÉNEAS.

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 

1. Fracciones homogéneas (1/4, 2/4, 9/4) 
2. Fracciones heterogeneas (1/3, 2/5, 3/7) 

Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogeneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. 


Suma de fracciones homogeneas 

Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual. 

Ejemplos: 
1/5 + 3/5 = 4/5 
2/7 + 9/7 = 11/7 


Suma de fracciones heterogéneas 

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. 

Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla: 

a/b + c/d = (ad + bc)/bd 
se multiplica cruzado y los productos de suman / se multiplican los denominadores 


Ejemplos: 
1/4 + 1/3 = (1*3+4*1)/4*3 = (3+4)/12 = 7/12 

1/3 + 2/5 = (1*5 + 3*2)/15 = (5+6)/15 = 11/15 

1/4 + 1/2 = (2*1 + 4*1)/8 = 6/8 
Simplificamos dividiendo por 2 numerador y denominador: 
6/8 / 2/2 = 3/4 
_______________________________________________________________________

Para restar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 

1. Fracciones homogéneas (1/4, 2/4, 9/4) 
2. Fracciones heterogeneas (1/3, 2/5, 3/7) 

Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogeneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. 


Resta de fracciones homogeneas 

Las fracciones homogéneas, en resta, se restan los numeradores y el denominador se queda igual. 

Ejemplos: 
7/5 - 3/5 = 4/5 
12/7 - 9/7 = 3/7 


Resta de fracciones heterogéneas 

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a restar fracciones mentalmente. 

Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos restar podemos seguir la siguiente regla: 

a/b - c/d = (ad - bc)/bd 
se multiplica cruzado y los productos de restan / se multiplican los denominadores 


Ejemplos: 
2/3 - 1/2 = (2*2 - 3*1)/6 = (4-3)/6 = 1/6 
5/3 - 7/8 = (5*8 - 3*7)/24 = (40 -21)/24 = 19/24 
19 es un número primo, con lo cual no podemos simplificar más la fracción.

ADICIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

ADICIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Se llaman fracciones homogéneas a aquellas que comparten el mismo denominador por ejemplo (3/4 y 5/4) si no comparten el denominador las llamamos fracciones heterogéneas.

Si realizamos una suma o adición de fracciones homogéneas, debemos sumar los numeradores y mantener igual el denominador. Veamos un ejemplo de esto:

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 

1. Fracciones homogéneas (1/4, 2/4, 9/4) 
2. Fracciones heterogeneas (1/3, 2/5, 3/7) 

Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogeneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. 


Suma de fracciones homogeneas 

Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual. 

Ejemplos: 
1/5 + 3/5 = 4/5 
2/7 + 9/7 = 11/7 

EL PLANO CARTESIANO CON FRACCIONES

Pares Ordenados

(LAS CIUDADES MAS GRANDES DEL MUNDO) → es un PowerPoint informativo sobre las ciudades más pobladas del mundo y algunas condiciones de vida de estas.

♠ Par Ordenado

Es una pareja de elementos dados en cierto orden; estos elementos pueden ser numéricos o de otra clase.  Los encontramos en la vida diaria de diferentes maneras, por ejemplo:  el marcador de partidos deportivos entre dos equipos, los pares entre: pais-capital; provincia-capital; esposo-esposa; nombres-apellidos, nombre-edad, etc.

• Nosotros estudiaremos los pares ordenados numéricos; con  naturales, fracionarios y decimales.

♠ Concepto.-

(x, y) es un par ordenado cualquiera, x ≠ y, en donde x es el primer elemento llamado primera componentey y es el segundo elemento llamado segunda componente.

IMPORTANTE:  (x, y) ≠ (y, x).  Es decir el orden de las componentes no puede ser cambiado.

Estas componentes numéricas, se pueden graficar en los ejes cartesianos o plano cartesiano; la primera componente representa la abscisa y se ubica en el eje x; la segunda componente representa la ordenada y se ubica en el eje y. (x, y).

                                   

♠ Plano Cartesiano

LLamado también Sistema Cartesiano de Coordenadas, está formado por dos rectas numéricas cortadasperpendicularmente; el punto de corte de estas rectas es el origen o cero y a partir de allí se ubican los números ordenadamente en las 4 direcciones (arriba, abajo, derecha e izquierda).  A la recta horizontal se le llama eje x o de las abscisas; y la recta vertical se llama eje y o de las ordenadas.

En el eje x a la derecha están los números positivos.

En el eje x a la izquierda están los números negativos.

En el eje y arriba están los números positivos.

En el eje y abajo están los números negativos.

   

  Ejemplos de nuestro gráfico:

R (-4, 4)

S (-1, 2)

U (-3, 0)

T (-2, -1)

V (3, 1)

Para ubicar pares ordenados en el plano cartesiano, se le debe ubicar a la 1° componente en el eje x(horizontal), y la 2° componente en el eje y (vertical); dirigir segmentos paralelos (cuadricula) a los ejes hasta que se corten y allí se ubicará el punto que corresponde al par ordenado.

Las coordenadas o ejes cartesianos por ser dos rectas que se cortan en un punto forman cuatro cuadrantesque se cuentan o enumeran en forma antihoraria, comenzando por el de la derecha y superior, así:

  

CONCEPTO DEL PLANO CARTESIANO

CONCEPTO DEL PLANO CARTESIANO

Qué es el Plano cartesiano:

Como plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. Su nombre cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes.  

Un plano cartesiano está formado por4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y.

La finalidad del plano cartesianoes parejas de puntos llamadas coordenadas que se forman con un valor X y un valor Y representado como P(X,Y) por ejemplo: P(3,4) se puede observar que el 3 pertenece al eje de las abscisas y, el 4 al eje de las ordenadas.

Asimismo, sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como: parábola, hipérbole, línea, circunferencia y eclipse, los cuales forman parte de la geometría analítica.

Funciones en un plano cartesiano

Una función representada como: f(x)=y es una operación para obtener de un variable independiente (dominio) las variables dependientes (contra dominio). Por ejemplo: f(x)=3x

Función de x	Dominio	Contra dominio
f(2)=3x	2	6
f(3)=3x	3	9
f(4)=3x	4	12

La relación del dominio y el contra dominio es biunivoca significando que tiene solo dos puntos correctos.

Para encontrar la función en un plano cartesiano se debe primero tabular, o sea, ordenar los puntos en una tabla las parejas encontradas para posicionarlas o ubicarlas después en el plano cartesiano.

X	Y	Coordenada
2	3	(2,3)
-4	2	(-4,2)
6	-1	(6,-1)

También puede interesarte leer sobre el significado de "pienso, luego existo" de René Descartes.

LA RADICACIÓN

LA RADICACIÓN

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b² = a.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

Radicando = (Raíz exacta)²

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

Radicando = (Raíz entera)² + Resto

Algoritmo de la raíz cuadrada

1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?

8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.

3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

  El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.    

49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz , multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior.

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz

8Prueba de la raíz cuadrada.

Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:

Radicando= (Raíz entera)² + Resto

89 225= 298² + 421

REPASO DE EL AREA Y EL PERIMETRO DEL TRIANGULO

REPASO DE EL ÁREA Y EL PERÍMETRO  DEL TRIANGULO

El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres costados.

Ejemplo

Sea un triángulo rectángulo con los tres lados conocidos, siendo éstos a=3 cm,b=4 cm y c=5 cm.

¿Cuál es su perímetro?

Éste se calculará como la suma de sus tres lados:

Y como resultado se obtiene que el perímetro es de 12 cm.

Perímetro de un triángulo rectángulo a partir del teorema de Pitágoras

El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) y el perímetro se pueden expresar a partir de los catetos (a y b).

Perímetro de un triángulo rectángulo a partir del teorema del cateto

El perímetro de un triángulo rectángulo se puede obtener a partir de lahipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre esta mediante el teorema del cateto.

Sean n y m las proyecciones de los catetos (b y a). Entonces el perímetro de un triángulo rectángulo viene definido por la siguiente fórmula: