FRACCIONES EQUIVALENTES

FRACCIONES EQUIVALENTE

inShare4

¿Qué son las fracciones equivalentes? En este post vamos a entender en qué consisten y cómo se puede descubrir cuáles fracciones son equivalentes.

Las fracciones equivalentes son aquellas fracciones que representan una misma cantidad. Por ejemplo, ¿cuál de las siguientes fracciones crees que será mayor?

¿Lo has averiguado? Vamos a verlo con un ejemplo, partiendo esta pizzaen tantos trozos como indique la fracción.

Para representar 1/2, partiremos la pizza en 2 trozos y nos quedaremos con 1 trozo:

Para representar 3/6, partiremos la pizza en 6 trozos y nos quedaremos con 3 trozos:

Para representar 4/8, partiremos la pizza en 8 trozos y nos quedaremos con 4 trozos:

¿Hay algún trozo de pizza que sea más grande? ¡No! Fíjate, las tres fracciones representan la misma cantidad de pizza, justo la mitad, por eso son fracciones equivalentes:

¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes? Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal.

Por ejemplo, las tres fracciones anteriores representan el mismo número decimal: 0,5.

1/2 es 1 entre 2, que es 0,5.

3/6 es 3 entre 6, que es 0,5.

4/8 es 4 entre 8, que es 0,5.

¿Cómo podemos hallar una fracción que sea equivalente a otra?

Si queremos hallar una fracción equivalente a otra, podemos:

– Multiplicar denominador y numerador por el mismo número. Hallamos una fracción equivalente con números más grandes. Por eso este proceso se llama amplificación.

– Dividir denominador y numerador por el mismo número (ambos deben ser divisibles por este número). Así, estamos hallando una fracción equivalente con números más pequeños. Por eso, este proceso se llama simplificación.

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO EN LA SUMA DE FRACCIONES HETEROGENEAS

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO EN LA SUMA DE FRACCIONES HETEROGENEAS

Una fracción o quebrado es la división de algo en partes. Si tomamos como ejemplo la fracción 2/4 se lee como dos cuartos, y lo que hace es señalar dos partes sobre las cuatro partes totales. Podemos observar entonces que lo que da nombre a esta fracción es el número de abajo el cual llamamos denominador ya que “denominamos” a la fracción como dos “cuartos”. El número superior de una fracción, que es el que se divide por el denominador se llama denominador. Tanto el numerador como el denominador son siempre números enteros, por lo cual las cifras que representan las fracciones son números racionales.

Vemos en el ejemplo anterior que en primer lugar se multiplicaron los denominadores, luego se realizó la multiplicación cruzada. Se sumaron los productos para obtener luego el numerador y finalmente se simplificó la fracción. Observemos otro ejemplo:

Podemos observar en este ejemplo que no fue necesario multiplicar entre si los denominadores, ya que 8 es múltiplo común tanto de 2 como de 4 así como de si mismo.

En la resta o sustracción de fracciones heterogéneas debemos utilizar las mismas reglas que usamos en la suma, lo único que cambia es que en este caso tenemos que restar en vez de sumar. Veamos un ejemplo:

En la multiplicación de fracciones, tanto fracciones homogéneas como heterogéneas se multiplican de igual forma. El producto de dos o más fracciones es entonces igual a otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y tiene también como denominador el producto de los denominadores. Veamos un claro ejemplo:

Dividamos fracciones heterogéneas o no, debemos cambiar siempre a una multiplicación y la segunda fracción cambiará entonces a su recíproco. El cociente de dos fracciones será otra fracción que tendrá como numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y tendrá por denominador el producto del denominador de la primera multiplicado por el denominador de la segunda.Veamos por último el siguiente ejemplo:

RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEOS

RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEOS

Cómo restar fracciones cuando tienen denominadores distintos? A esto se le llama resta de fracciones heterogéneas y es muy sencillo. Observa la siguiente infografía.

Resta de fracciones homogéneas

Para restar dos ó más fracciones homogéneas, se restan los numeradores y se deja el denominador común y simplificamos

Ejemplo:

• 

Resta de fracciones heterogéneas

La resta de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

1. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:

•  (mínimo común múltiplo de 4 y 2)

2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (4)

( 6*4/4=6 )

Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2) ( 1*4/2= 2 )

• 

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

• 

SUMA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

SUMA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

PARA SUMAR FRACCIONES HETEROGÉNEAS:

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Luego ese valor lo dividimos para cada uno de los denominadores y lo multiplicamos por el respectivo numerador. Sumamos los totales, simplificamos y convertimos en número mixto. Ejemplo:

2 1 5 8 + 3 + 10 21 9
---- + --- + --- = --------------------- = ------- = 1-----
3 4 6 12 12 12

NOTA:
El mínimo común múltiplo es el menor número posible que se pueda dividir entre los denominadores de las fracciones.

Para transformar un fracción a número mixto dividimos el numerador para el denominador. Luego anotamos como número entero el cociente. El residuo como numerador y ubicamos el mismo denominador..

.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DIFERENTE DENOMINADOR

Hay que reducir a común denominador.

1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores

 los denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.

2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y

 lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.

3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos

 los numeradores y dejamos el mismo denominador.

4º Si podemos simplificamos.

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

---

FORMA ABREVIADA

SUMA DE FRACCIONES HETEROGENEAS

FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Dos fracciones son heterogéneas cuando tiene distinto denominador.

Entre dos fracciones heterogéneas con igual numerador es mayor la que tiene menor denominador

Ejemplo

9/8   y 9/5           9/5 > 9/8         porque   5<8

Ahora representemos gráficamente estas dos fracciones

9/8                               <                                      9/5

Observa vamos a ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones

1/5,    1/2,    1/6,   1/8,   1/10,   1/7,    1/9,   1/4

1/2> 1/4> 1/5 > 1/6 > 1/7 > 1/8 >1/9 < 1/10 porque  2<4<5<6 < 7<8<9 <10

                                                     VAMOS A PRACTICAR

 

 Escriba el signo   >  o  <  según corresponda

  a) 13/9          13/7              b) 1/20          1/12          c) 7/4          7/2       

  d) 21/8          21/2              e)  3/6           3/9             e) 11/5       10/7 

 

 2) Escribe las fracciones según la siguiente grafica y dí cual es mayor y por  qué

 3. Lee interpreta y soluciona

      a) En una clase de Educación Física  1/8 de los estudiantes juegan fútbol, 1/6 juega baloncesto, y 1/3 practica el atletismo.¿Qué deporte prefieren los estudiantes?

 

      b) Carlos compró cuatro pizzas para una fiesta y  dividió cada una en 10 partes iguales. Al terminar la fiesta recogió los platos y vio que habían sobrado doce porciones.¿ Habría tenido suficiente  con solo tres  pizzas?

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se toman los factores comunes con menor exponente.

3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.

Ejemplo de cálculo de máximo común divisor

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:

1 

Solución: 

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

2 m. c. d. (72, 108, 60) = 2² · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Propiedades del máximo común divisor

1 Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor.

Ejemplo: 

Calcular los divisores comunes de 54 y 90.
m.c.d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 6, 9, 18.

2 Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.

Ejemplo: 

m.c.d. (54, 90) = 18
Si multiplicamos los dos números por 3 queda:

54 · 3 = 162

90 · 3 = 270

m.c.d. (162, 270) = 54 = 18 · 3

3 Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sí (su m.c.d es 1).

Ejemplo: 

m.c.d. (54, 90) = 18

54 : 18 = 3

90 : 18 = 5

m.c.d. (3, 5) = 1

4 Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos.

Ejemplo: 

El número 12 es divisor de 36.

m.c.d. (12, 36) = 12

FRACCIONES EQUIVALENTES

FRACCIONES EQUIVALENTES

Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.

Estas fracciones son en realidad lo mismo:

1	=	2	=	4
2		4		8

¿Por qué son lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es:

¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción

también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:

	× 2		× 2
1	=	2	=	4
2		4		8
	× 2		× 2

Y en un dibujo se ve así:

1/2		2/4		4/8
	=		=

Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:

	÷ 3		÷ 6
18	=	6	=	1
36		12		2
	÷ 3		÷ 6

Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción (la hemos hecho la más simple posible).

Importante:

• Las partes de arriba y abajo de la fracción siempre deben ser números enteros.
• Las operaciones que podemos hacer son multiplicar y dividir (siempre las dos partes a la vez). Si sumamos o restamos un número arriba y abajo, no tendremos una fracción equivalente.
• El número que elijas para dividir las dos partes no debe dejar ningún resto en las divisiones.